Thanos 該學一點生態學

在《復仇者三》中，反派 Thanos 的目標是把全宇宙的人口砍半，他認為這可以解決人口過剩造成的各種社會問題。但是如果學過基本的生態學或人口學，就會發現他的想法完全錯誤。我們來看看他的手段會造成什麼問題。

 

首先，我們來看看基本的指數成長：

這是最基本的人口模型，這條公式說：在任一時間（t），人口變化率（）取決於當時的人口（N）以及單位人口成長率（r）。

例如這裡有 4 個人（N = 4），每個人生 2 個小孩（r = 2），那就會增加 8 個人。如果不是生兩個小孩，而是死一半的人（r = - 1/2），那就會減少2個人。只要 r > 0 人口就會持續成長。

 

這公式只告訴我們人口變化率，如果要知道總人口是多少的話，我們要解微分方程。（對數學沒興趣的人可以跳過灰色的部份） 

先把 N 移到左邊、dt 移到右邊：

然後兩邊取積分：

積出來是：

兩邊取指數後得到：

如果代入 t = 0，我們可以看出來 e^c 其實就是人口的起始大小，可以改用 N₀ 來表示。因此我們可以解出：

Thanos 想要把人口減半，但是 r 沒有變，所以人口還是會持續無限成長到爆炸。人口減半後要多久才會回到原本的大小呢？如果拿被砍半的人口當作起始點，想知道要多久人口才會變成起始值的兩倍，那就是 N = 2 N₀ ，求解 t 是多少。先把左邊的 N 代換成前面解出來的人口大小公式：

把兩邊的 N₀ 消掉（人口不是 0），然後取對數後變成：

把 r 移到右邊，解出：

2017年，地球的人口成長率是每年增加 0.011，再代入ln 2 = 0.69315，算出來大約是 63 年。計算過程中 N₀ 被消掉了，這表示不管地球上有多少人，若 Thanos 把人口減半，只要 63 年過後人口就會回復。這是假設 r 值不變，人們沒有因為人口減半資源很多所以決定多生一些小孩、或是因為擔心環境危險所以不生小孩。

有的人可能會說：不對啊！人類的人口成長率在降低，在工業化之後的先進國家，生小孩不再是幫忙打獵或下田，反倒要花費許多時間金錢，所以生率都會下降。換句話說，我們應該接近人口承載上限（K）了。好，我們來看看如果有人口承載上限的情況下，Thanos 會造成什麼影響。這是 Logistic Growth 模型，中文有時翻作邏輯型成長、S 型成長、邏輯斯蒂模型等等：

比起前一個模型，主要的差別就只是在算人口變化率時，人口成長率 r 會先乘以，然後再乘以現在的人口大小 N。這意思就是說當人口大小 N 上升到承載上限 K 時，實際的人口成長率就會下降到 0；如果人口超過 K 時， 就會變成負的，於是人口會下降到 N = K。如果把圖畫出來，橫軸放時間，縱軸放人口，會得到這種形狀的曲線：

（不要管座標軸的數字）

我們先看人口變化率就好。人口為上限的一半的時候，人口上升最快。這可以很容易用微分等於零找極值來證明。先把右邊乘開：

然後解微分等於零：

解出：

三次微分是負的，所以我們知道這是最大值，不是最小值。或者也可以用配方法來找極值：

總之，在人口是承載上限的一半時，人口成長率來到最大值。對所有已經生活在承載上限的星球來說，Thanos 如果把人口砍半，正好讓人口爆發變成最快。

往好的方面想，人口成長最快表示這裡離人口上限還很遠，平均生活品質不錯，同時又有夠多人，找伴侶不會太辛苦，或許 Thanos 的想法沒錯。

但是前面提到的問題還在：隨時間過去，人口會慢慢回復到原本的大小。接下來我們來解方程式，算人口要多久才會回到被砍半之前的大小。回到一開始的模型，把移到左邊，dt 移到右邊：

左邊的分數相乘可以拆成兩個分數相加：

兩邊取積分：

得到：

把左邊兩個對數合併，然後取指數：

在這邊可以順便代入 t = 0 先解 e^c：

回到上一步剛取完指數的部份，把左邊的分母移到右邊乘開：

有 N 的部份移到左邊，並把 N 提出來：

沒有 N 的部份移回右邊：

然後套入剛才先解好的 e^c：

右邊分子分母同乘，稍加整理後可以得到：

跟前面一樣，我們要算的是 N = 2 N₀ 時 t 是多少：

消掉 N₀ ，把右邊的分母移到左邊：

把 e^rt 移到右邊：

右邊的 e^rt 提出來，其餘移到左邊：

取對數後解出：

我們不能假設 Thanos 在人口已經在承載上限時將人口減半，因為N₀ = K/2，對數部份的分母變成零，算出來要無限久的時間，這是因為人口越靠近承載上限，成長率就越慢，所以永遠到不了上限。我們假設地球的人口是在 90% 上限好了，減半後 N₀ = 0.45 K。

注意前一個模型用的 r = 0.011 不能直接套用，而是。這裡的 N 是還沒被砍半以前，用0.9 K 算：

算出來是 r = 0.11，套進 t = 2.4 / r 後我們得到 21.8 年。沒錯！Thanos 大費週張要收集一堆石頭，包括時間之石，來讓人口減半，但是地球的人口可以輕易在 21.8 年的時間後回復原狀。這個時間之石好像沒辦法超脫時間的魔咒。